Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）求函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）根据函数单调性的性质即可求函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

∵x₂²-x₁²=（x₁+x₂）（x₂-x₁），x₁＜x₂≤0
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0]上是增函数．
（2）易知函数f（x）在（-∞，0]上是增函数且f（x）是偶函数，
∴函数f（x）在[-3，0]上的值域为：

1

10

≤f（x）≤1．
函数f（x）在[0，2]上是减函数，此时

1

5

≤f（x）≤1．
综上

1

10

≤f（x）≤1．
即函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域[

1

10

，1]．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据函数单调性的定义是解决本题的关键．