Question

2．设a，b∈R，给出下列判断：
①若$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$，则a-b≤1；
②若a³-b³=1，则a-b≤1；
③若a，b均为正数，且a²-b²=1，则a-b≤1；
④若a，b均为正数，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$，则a-b≥1．
则所有正确判断的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①若$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$，取a=2，b=$\frac{2}{3}$，即可判断出正误；
②若a³-b³=1，取a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{\root{3}{7}}{2}$，即可判断出正误；
③由a，b均为正数，且a²-b²=1，则a=$\sqrt{1+{b}^{2}}$，可得a-b=$\sqrt{1+{b}^{2}}-b$=$\frac{1}{\sqrt{1+{b}^{2}}+b}$，即可判断出正误；
④由a，b均为正数，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$，则$\sqrt{a}=1+\sqrt{b}$，两边平方可得：a=1+2$\sqrt{b}$+b，可得a-b=1+2$\sqrt{b}$，即可判断出正误．

解答 解：①若$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$，取a=2，b=$\frac{2}{3}$，则a-b=$\frac{4}{3}$＞1，因此①不一定正确；
②若a³-b³=1，取a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{\root{3}{7}}{2}$，则a-b=$\frac{1+\root{3}{7}}{2}$＞1，因此不一定正确；
③若a，b均为正数，且a²-b²=1，则a=$\sqrt{1+{b}^{2}}$，∴a-b=$\sqrt{1+{b}^{2}}-b$=$\frac{1}{\sqrt{1+{b}^{2}}+b}$≤1，因此正确；
④若a，b均为正数，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$，则$\sqrt{a}=1+\sqrt{b}$，两边平方可得：a=1+2$\sqrt{b}$+b，∴a-b=1+2$\sqrt{b}$≥1，因此正确．
则所有正确判断的序号是（　　）

点评 本题考查了不等式的基本性质、平方法、分子有理化、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．