题目内容
设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（Ⅰ）求
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
（Ⅱ）设动点P在边BC上，
（i）请写出一个
| |BP| |
| PA |
| PC |
（ii）当
| PA |
| PC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）
•
+
•
=
•（
+
）=2
2，由余弦定理求得
2，从而求得结果．
（Ⅱ）（i）要使
•
＞0，需∠APC为锐角，故点P应在线段BP2上（不含P2），可得
的值．
（ii）当点P在线段BC上时（不含P2），
•
＞0；当点P在线段P2C时，
•
≤0，可得点P一定在线段P2C上，设|
|=x，则
•
=|
|•|
|cos＜
，
＞=x2-
x，再利用二次函数的性质求得
•
的最小值．
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| AP1 |
| AB |
| AP2 |
| AP1 |
| AP1 |
（Ⅱ）（i）要使
| PA |
| PC |
| |BP| |
（ii）当点P在线段BC上时（不含P2），
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
| PC |
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
| 1 |
| 2 |
| PA |
| PC |
解答：
解：（Ⅰ）
•
+
•
=
•（
+
）=2
2．
△ABP1中，由题意利用余弦定理可得AP12=1+
-2×1×
×cos60°，
∴2
2=2（1+
-2×1×
×cos60°）=
，即
•
+
•
=
．
（Ⅱ）设动点P在边BC上，
（i）要使
•
＞0，需∠APC为锐角，
故点P应在线段BP2上（不含P2），故|
|＜
，即
的值为区间[0，
）内的任意一个值．
（ii）当点P在线段BP2上时（不含P2），
•
＞0．
当点P在线段P2C时，
•
≤0，当
•
取得最小值时，点P一定在线段P2C上．
设|
|=x，由于AP2⊥BC，
则
•
=|
|•|
|cos＜
，
＞=|
|•（-|
|）=x（x-
）=x2-
x，
故当x=
时，即P在P3时，
•
取得最小值，此时，cos∠PAB=
．
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| AP1 |
| AB |
| AP2 |
| AP1 |
△ABP1中，由题意利用余弦定理可得AP12=1+
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
∴2
| AP1 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
| 13 |
| 8 |
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| 13 |
| 8 |
（Ⅱ）设动点P在边BC上，
（i）要使
| PA |
| PC |
故点P应在线段BP2上（不含P2），故|
| BP |
| 1 |
| 2 |
| |BP| |
| 1 |
| 2 |
（ii）当点P在线段BP2上时（不含P2），
| PA |
| PC |
当点P在线段P2C时，
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
设|
| PC |
则
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
| PA |
| PC |
| PC |
| PP2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故当x=
| 1 |
| 4 |
| PA |
| PC |
| 5 |
| 26 |
| 13 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，余弦定理，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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| 2 |
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