Question

“a=0是f（x）=

x+a

|x|-1

为奇函数“的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先求f（x）的定义域，然后a=0时求出f（x），并容易判断此时f（x）的奇偶性；而由f（x）是奇函数，便有f（-x）=-f（x），所以能够求出a=0，这样便可得到“a=0”是“f（x）=

x+a

|x|-1

为奇函数”的什么条件．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠±1}，若a=0，f（x）=

x

|x|-1

；
∴f（-x）=

-x

|x|-1

=-f(x)；
∴f（x）是奇函数；
a=0是f（x）=

x+a

|x|-1

为奇函数的充分条件；
（2）若f（x）=

x+a

|x|-1

是奇函数，则：
f（-x）=

-x+a

|x|-1

=

-x-a

|x|-1

；
∴a=-a；
∴a=0；
∴“a=0”是“f（x）=

x+a

|x|-1

为奇函数”的必要条件；
综合（1）（2）得“a=0“是“f（x）=

x+a

|x|-1

为奇函数“的充要条件．
故选C．

点评：考查奇函数的定义，判断一个函数是否为奇函数的方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的概念．