Question

下列命题是真命题的是（　　）

• A、?x∈R使得sinxcosx=

  3

  5

• B、?x∈（-∞，0）使得2^x＞1
• C、?x∈R恒有sinx＞cosx
• D、?x∈（0，π）恒有x²＞x-1

Answer 1

考点：全称命题

专题：综合题

分析：A由二倍角公式，结合三角函数的有界性即可判断；
B由指数函数的性质即可判断正误；
C举反例说明即可；
D作差比较x²与（x-1）的大小．

解答： 解：对于A，∵sinxcosx=

3

5

，∴2sinxcosx=

6

5

，即sin2x=

6

5

＞1，∴x∈∅，A错误；
对于B，当x∈（-∞，0）时，0＜2^x＜1，∴B错误；
对于C，当x∈[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]k∈Z时，sinx≤cosx，∴C错误；
对于D，∵x²-（x-1）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0，∴x²＞x-1恒成立，∴D正确．
故选：D．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换问题，三角函数的图象与性质的应用问题，指数函数的图象与性质的应用问题，作差比较大小问题，是基础题．