题目内容
已知椭圆C1：
+
=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：
-
=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（ ）
| x2 |
| a12 |
| y2 |
| b12 |
| x2 |
| a22 |
| y2 |
| b22 |
A、
| ||
| B、4 | ||
C、
| ||
| D、9 |
考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．
解答：
解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e12+e22=
+
=
+
=
+
+
≥
+2
=
．
故选：C．
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e12+e22=
| 4c2 |
| a12 |
| c2 |
| a22 |
| 4(a12+a22) |
| 2a12 |
| a12+a22 |
| 2a22 |
=
| 5 |
| 2 |
| 2a22 |
| a12 |
| a12 |
| 2a22 |
≥
| 5 |
| 2 |
|
| 9 |
| 2 |
故选：C．
点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．
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下列说法：
①必然事件的概率为1；
②如果某种彩票的中奖概率为
，那么买1000张这种彩票一定能中奖；
③某事件的概率为1.1；
④互斥事件一定是对立事件；
其中正确的说法是（ ）
①必然事件的概率为1；
②如果某种彩票的中奖概率为
| 1 |
| 10 |
③某事件的概率为1.1；
④互斥事件一定是对立事件；
其中正确的说法是（ ）
| A、①②③④ | B、① | C、③④ | D、①② |
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|
设直线x=m与函数f（x）=x2+4，g（x）=2lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时m的值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
| D、2 |