Question

求下列函数的导数，并根据导数的正负指出函数的递增，递减区间和极大极小值：
（1）f（x）=lnx+x；
（2）g（x）=x（x+1）（x-3）；
（3）g（x）=x+2sinx；
（4）u（x）=5-3x+2x²-x³．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：对函数求导后，判断函数的单调性，得出单调区间，进而写出极大值及极小值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+1=

x+1

x

，
∵函数的定义域是（0，+∞），
∴在定义域上恒有f′（x）＞0，
∴函数的递增区间是（0，+∞），函数无极值．
（2）∵g（x）=x（x+1）（x-3）=x³-2x²-3x，
∴g′（x）=3x²-4x-3，
由g′（x）=3x²-4x-3=0得，x=

2± 13

3

，
∴x＜

2- 13

3

或x＞

2+ 13

3

时，g′（x）＞0，

2- 13

3

＜x＜

2+ 13

3

时，g′（x）＜0，
∴函数的单调递增区间是（-∞，

2- 13

3

）和（

2+ 13

3

，+∞），
递减区间是（

2- 13

3

，

2+ 13

3

），
∴当x=

2- 13

3

时，函数有极大值

(2- 13 )(5- 13 )(- 13 -7)

27

，
当x=

2+ 13

3

时，函数有极小值是

(2+ 13 )(5+ 13 )( 13 -7)

27

．
（3）g′（x）=1+2cosx=0得cosx=-

1

2

，
∴x∈（2kπ，

2π

3

+2kπ）和（

4π

3

+2kπ，2π+2kπ）时，g′（x）＞0，
x∈（

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ）时，g′（x）＜0，
∴函数的单调递增区间是∈（2kπ，

2π

3

+2kπ）和（

4π

3

+2kπ，2π+2kπ），递减区间是∈（

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ），
当x=

2π

3

+2kπ时，函数有极大值

3

+

2π

3

+2kπ，
当x=，

4π

3

+2kπ时，函数有极小值-

3

+

4π

3

+2kπ．
（4）u（x）=5-3x+2x²-x³．
∴u′（x）=-3+4x-3x²=0得x=

2± 5

3

，
∴当x∈（-∞，

2- 5

3

）和（

2+ 5

3

，+∞）时，u′（x）＜0，
当x∈（

2- 5

3

，

2+ 5

3

）时，u′（x）＞0，
∴函数的单调递增区间是（

2- 5

3

，

2+ 5

3

），递减区间是（-∞，

2- 5

3

）和（

2+ 5

3

，+∞）．
∴当x=

2- 5

3

时，函数有极大值u（

2- 5

3

），
当x=

2+ 5

3

时，函数有极小值u（

2+ 5

3

）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、单调区间、极值等知识，考查学生运用公式对函数的求导的计算能力，属于基础题．