Question

已知f（x）=cos（

π

3

-2x）+2sin²x
（1）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域；
（2）锐角△ABC中，f（C）=

3

2

，sinB=

1

3

，求cosA．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过恒等变换把函数变形成正弦型函数，然后根据定义域进一步确定函数的值域
（2）根据（1）所得的结果进一步确定A、B的正弦值和余弦值，进一步求得结果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cos（

π

3

-2x）+2sin²x=cos

π

3

cos2x+sin

π

3

sin2x+2

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1=sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
∴

1

2

≤f（x）≤2
即f（x）的值域为：[

1

2

，2]
（2）在锐角△ABC中，
∵f（C）=

3

2

∴sin（2C-

π

6

）+1=

3

2

解得：C=

π

6

sinC=

1

2

 cosC=

3

2

∵sinB=

1

3

∴cosB=

2 2

3

cosA=-cos（B+C）=

1-2 6

6

．

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的定义域和值域，三角函数的诱导公式及相关的运算问题．