Question

13．已知F₁、F₂是某等轴双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若PF₁⊥PF₂，则以F₁、F₂为焦点且经过点P的椭圆的离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 可设双曲线方程为x²-y²=1，可得焦距，因为PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再结合双曲线的定义，得到||PF₁|-|PF₂||=2，最后联解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，从而得到|PF₁|+|PF₂|的值，即可求出以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率．

解答 解：由题意可设双曲线方程为x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，
可得|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8，
又∵P为双曲线x²-y²=1上一点，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴（|PF₁|-|PF₂|）²=4，
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值为2$\sqrt{3}$，
∴以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，注意运用定义法和离心率公式是解题的关键，属于中档题．