Question

3．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（-1）=0，且对任意实数，恒有f（x）≥0，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）在R上为偶函数，且F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），当x＞0时}\\{-f（x），当x＜0时}\end{array}\right.$，试判断F（x）奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质列方程组解出a，b；
（2）求出g（x）的对称轴，得出对称轴与区间[-2，2]的关系，从而得出k的范围；
（3）利用定义判断F（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由题意可知f（x）为开口向上的二次函数，故a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4a=0}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2．
（2）由（1）可知g（x）=x²+（2-k）x+1，
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2，
解得k≤-2或k≥6．
（3）若f（x）是偶函数，则b=0，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x＞0}\\{-a{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
若x＞0，则F（x）=ax²+1，F（-x）=-a（-x）²-1=-ax²-1=-F（x），
同理当x＜0时，F（-x）=-F（x），
∴F（x）是奇函数．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．