Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，若a₂=4，2S_n=a_n（n+1），求a₁，a₃及数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可由条件2S_n=a_n（n+1），将n=1，n=2代入求值，可得a₁，a₃的值，再将“n”用“n-1”代入，利用前n项和与前n-1项和的关系，得到数列{a_n}的项与项的关系，构造常数数列，求出数列的通项．

解答： 解：∵数列{a_n}，其前n项和为S_n，2S_n=a_n（n+1），①
∴当n=1时，
2S₂=a₂×（2+1），
即2a₁+2a₂=3a₂，
∴a₂=2a₁，
∵a₂=4，
∴a₁=2．
当n=2时，
2S₃=4a₃，
即2a₁+2a₂+2a₃=4a₃，
∴a₃=a₁+a₂，
∴a₃=2+4=6．
当n≥2，n∈N^*时，
2S_n-1=na_n-1，②
∴①-②得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴（n-1）a_n=na_n-1，

an

n

=

an-1

n-1

，
∴数列{

an

n

}是常数数列，
∴

an

n

=

a1

1

=2，
∴a_n=2n，n∈N^*．
∴a₁=2，a₃=6，数列{a_n}的通项公式a_n=2n，n∈N^*．

点评：本题考查了数列前n项和与通项的关系以及构造法求数列通项，本题有一定的思维难度，难在构造，本题也可以用叠乘法求通项．