Question

已知函数f（x）满足f（x）=2f（

1

x

），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx在区间[

1

3

，3]上，函数g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有一个零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：根据题意画出图形，结合a≤k_OA=6ln3，当直线与曲线f（x）=lnx相切时，可解得k=

1

e

；进而求出a的取值范围．

解答： 解：当x∈[

1

3

，1]时，

1

x

∈[1，3]，
则f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx．
在坐标系内画出分段函数图象：
由题意可知：a≤k_OA=6ln3，
当直线与曲线f（x）=lnx相切时，
解得k=

1

e

；所以a的取值范围是

1

e

＜a≤6ln3．
故答案为：

1

e

＜a≤6ln3．

点评：本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．