Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求常数c；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）先根据点（1，

1

3

）在f（x）=a^x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，由等比数列前三项求得c；
（2）由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，可得到数列
{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{

Sn

}的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式；
（3）先表示出T_n再利用裂项法求得的表达式T_n，根据T_n＞

1000

2009

求得n．

解答： 解：（1）由已知f（1）=a=

1

3

，
∴f（x）=(

1

3

)x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c=(

1

3

)n-c，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

，
数列{a_n}是等比数列，应有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

；
（2）由（1）知，首项a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

，
∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=（-

2

3

）•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n；
∵S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

，（n≥2），
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

）=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²，
当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1时也适合上式，
∴{b_n}的通项公式b_n=2n-1；
（3）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，由T_n＞

1000

2009

的，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故满足T_n＞

1000

2009

的最小正整数为112．

点评：本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用a_n，s_n的关系求解，以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力，是压轴题．