题目内容
已知函数f(x)=
kx3-k2x2+12x，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．
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考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用
分析：由k=3f'（x）=2kx2-2k2x+12，令f'（2）=0，得k=3或k=-1，对k进行检验从而得出结论．
解答：
解：存在
∵k=3f'（x）=2kx2-2k2x+12
令f'（2）=0，得k=3或k=-1，
k=-1时，f'（x）=-2x2-2x+12=-2（x+3）（x-1）
在（2，+∞）上f'（x）＜0，不符题意，舍；
k=3时，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）
在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0
即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴k=3
∵k=3f'（x）=2kx2-2k2x+12
令f'（2）=0，得k=3或k=-1，
k=-1时，f'（x）=-2x2-2x+12=-2（x+3）（x-1）
在（2，+∞）上f'（x）＜0，不符题意，舍；
k=3时，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）
在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0
即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴k=3
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
练习册系列答案
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