Question

（1）已知x₁＞0，x₂＞0且x₁+x₂=1，求x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值；
（2）已知x_i＞0（i=1，2，3，4）且x₁+x₂+x₃+x₄=1，求证：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2；
（3）已知x_i＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x₁+x₂+x₃+…+x₈=1，类比（2）给出一个你认为正确的结论，并证明你的结论．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：（1）设x=x₁，则x₂=1-x，利用导数求最值；
（2）设x₁+x₂=m，x₃+x₄=n，则m＞0，n＞0，且

x1

m

+

x2

m

=1，

x3

n

+

x4

n

=1，m+n=1，由此证明．
（3）类比（2）易得结论，证明类似（2）．

解答： （1）设x=x₁，则x₂=1-x
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），
令f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），
则f'（x）=log₂x-log₂（1-x），
若f'（x）=0，则x=

1

2

当x＜

1

2

时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞

1

2

时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
f（

1

2

）是f（x）在（0，1）内的最小值．
所以f（x）≥f（

1

2

）=

1

2

log₂

1

2

+（1-

1

2

）log₂（1-

1

2

）=-1，
即x1log2x1+x2log2x2得最小值是-1．
（2）证明：设x₁+x₂=m，x₃+x₄=n，
则m＞0，n＞0，且

x1

m

+

x2

m

=1，

x3

n

+

x4

n

=1，m+n=1，
∴

x1

m

log2

x1

m

+

x2

m

log2

x2

m

≥-1，①

x3

n

log2

x3

n

+

x4

n

log2

x4

n

≥-1．②
mlog₂m+nlog₂n≥-1③，
由①式得x₁（log₂x₁-log₂m）+x₂（log₂x₂-log₂m）≥-m，
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂≥-m+mlog₂m
同理：由②得到：x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-n+nlog₂n，
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-（m+n）+（mlog₂m+nlog₂n），
由③式和m+n=1得到：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2．
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2．
（3）结论：若x_i＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x₁+x₂+x₃+…+x₈=1，
则x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+…+x₈log₂x₈≥-3．
证明：设x₁+x₂+x₃+x₄=m，x₅+x₆+x₇+x₈=n，则m＞0，n＞0，且m+n=1，

x1

m

+

x2

m

+

x3

m

+

x4

m

=1，

x5

n

+

x6

n

+

x7

n

+

x8

n

=1，
由（1）和（2）得到：mlog₂m+nlog₂n≥-1，

x1

m

log2

x1

m

+

x2

m

log2

x2

m

+

x3

m

log2

x3

m

+

x4

m

log2

x4

m

≥-2，

x5

n

log2

x5

n

+

x6

n

log2

x6

n

+

x7

n

log2

x7

n

+

x8

n

log2

x8

n

≥-2，
所以：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+…+x₈log₂x₈≥-2（m+n）+（mlog₂m+nlog₂n）≥-3

点评：本题考查不等式的证明以及对数的基本运算，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，综合性较强．