Question

8．已知P是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作AC，BC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S₁，三角形PDE的面积是S₂，则$\frac{{2{S_1}}}{S_2}$=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 确定AB的方程，求出S_△ADN、S_ACME．利用P（x，y）在椭圆上可知S₁=S₂，从而可得结论．

解答 解：设P（x，y）在第一象限，则AB的方程为$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{3}$=1，
∴D（5-$\frac{5y}{3}$，y），E（x，3-$\frac{3x}{5}$），
∴S_△ADN=$\frac{1}{2}$×$y×\frac{5y}{3}$=$\frac{5{y}^{2}}{6}$，
∴S_ACME=$\frac{1}{2}×$（$\frac{3x}{5}+3$）×（5-x）=$\frac{3}{10}$（25-x²），
∵P（x，y）在椭圆上，∴$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，
∴y²=9-$\frac{9{x}^{2}}{25}$，
∴$\frac{5{y}^{2}}{6}$=$\frac{3}{10}$（25-x²），
∴S_△ADN=S_ACME，
∴S₁=S₂，
∴$\frac{{2{S_1}}}{S_2}$=2．
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．