题目内容
18．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积为2+2π，则$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值为（ ）| A． | $\frac{{5\sqrt{3}π}}{6}+6$ | B． | $\sqrt{3}π+7$ | C． | 6 | D． | 7 |
分析 由定积分求得a值，画出可行域，利用导数求斜率求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解答 解：∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积为2+2π，
∴${∫}_{0}^{π}（sinx+a）dx=（-cosx+ax）{|}_{0}^{π}=2+2π$，
即2+aπ=2+2π，得a=2．
则不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积如图：
令z=$\sqrt{3}x+2y+1$，化为$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$，
设与直线为$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$平行的直线与曲线的切点为（x0，sinx0+2），
则由$cos{x}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${x}_{0}=\frac{5π}{6}$，
∴A（$\frac{5π}{6}，\frac{5}{2}$），
∴z=$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值为$\frac{5\sqrt{3}π}{6}+6$．
故选：A．
点评 本题考查简单的线性规划，考查微积分基本定理的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
9．若函数f（x）同时满足以下三个性质：
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数；
③对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，则f（x）的解析式可能是（ ）
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数；
③对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，则f（x）的解析式可能是（ ）
| A． | f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）| | B． | f（x）=sin2x+cos2x | C． | f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$） | D． | f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$） |
6．若z∈C，且|z|=1，则|z-i|的最大值为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
在直角坐标系xOy中，椭圆C1：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|+|PF2|的最大值为4．