Question

16．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2016）²f（x+2016）-f（-1）＞0的解集为（-∞，-2017）．

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F（-1）=f（-1），
即不等式等价为F（x+2016）-F（-1）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是减函数，
∴由F（x+2016）＞F（-1）得，x+2016＜-1，
即x＜-2017，
故答案为：（-∞，-2017）．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．