Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知2a_n-2ⁿ=S_n．
（1）证明：{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（2）令T_n=S₁+S₂+…+S_n，求T_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=1取得a₁=2，再由n≥2得另一递推式，作差后可得an=2an-1+2n-1，两边同时减n•2^n-1即可证得{a_n-n•2^n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由{a_n-n•2^n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列求得an=(n+1)•2n-1，代入S_n=2a_n-2ⁿ得S_n．然后利用错位相减法求得T_n的值．

解答： （1）证明：由2a_n-2ⁿ=S_n，
当n=1时，2a₁-2=S₁=a₁，a₁=2；
当n≥2时，2a_n-1-2^n-1=S_n-1，
两式作差得：2an-2an-1-2n+2n-1=an，
即an=2an-1+2n-1．
则an-n•2n-1=2an-1+2n-1-n•2n-1
=2an-1-(n-1)•2n-1=2[an-1-(n-1)•2n-2]，
∵a1-20=2-1=1≠0，
∴{a_n-n•2^n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（2）解：由{a_n-n•2^n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则a_n-n•2^n-1=2^n-1，an=(n+1)•2n-1．
∴S_n=2a_n-2ⁿ=（n+1）•2ⁿ-2ⁿ=n•2ⁿ．
则T_n=S₁+S₂+…+S_n
=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
作差得-Tn=21+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．