Question

18．已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若x＞-1，求证：ln（x+1）≤x．

Answer 1

分析 （1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（2）根据导数和函数的最值的关系即可证明．

解答 解：（1）f（x）=ln（x+1）-x的定义域为（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{x+1}$
由f′（x）＜0，解得x＞0，函数单调递减．
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（2）证明：由（1）知，当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．

点评 本题考查了导数与函数的最值和单调性，以及不等式证明等问题，属于中档题．