题目内容
3．
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
分析 （1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人是“高个子”的概率．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
解答 解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$．
∴选中的“高个子”有12×$\frac{1}{6}$=2（人），
“非高个子”有18×$\frac{1}{6}$=3（人）．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件$\overline{A}$表示“没有一名‘高个子’被选中”，
则P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$．
∴至少有一人是“高个子”的概率是$\frac{7}{10}$．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}=\frac{14}{55}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$．
∴ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{14}{55}$ | $\frac{28}{55}$ | $\frac{12}{55}$ | $\frac{1}{55}$ |
点评 本题考查茎叶图、分层抽样的应用，考查离散型随变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |