Question

以下是关于函数f（x）=

4|x|

x2+1

的四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在区间[-1，0]∪[1，+∞）上单调递减；
③f（x）在x=-1处取得极小值，在x=1处取得极大值；
④f（x）有最大值，无最小值；
⑤若方程f（x）-k=0至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，2）．
其中为真命题的是

 

（请填写你认为是真命题的序号）．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的对称性，单调性，画出函数的草图，从而得出答案．

解答： 解：①定义域关于原点对称，f（-x）=f（x），f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；
②x＞0时，f（x）=

4x

x2+1

，f′（x）=

-4x2+4

(x2+1)2

，令f′（x）≤0，解得：x＞1，∴f（x）在[1，+∞）递减，
x≤0时，f（x）=

-4x

x2+1

，f′（x）=

4x2-4

(x2+1)2

，令f′（x）≤0，解得：-1≤x≤0，∴f（x）在[-1，0]递减，
画出函数f（x）的草图：

∴f（x）分别在区间[-1，0]和[1，+∞）上单调递减，故②错误；
③f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极大值，故③错误；
④由②中的图象得：④正确；
⑤由②中的图象得：⑤正确；
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，是一道中档题．