Question

已知二次函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为4，且满足f（3+x）=f（3-x），该函数的最小值是-3，则
（1）求该函数的解析式；
（2）写出函数的单调区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的对称轴，从而求出图象与x轴的交点坐标，设出函数的表达式，将（3，-3）代入从而求出函数的表达式；
（2）根据函数的解析式写出单调区间即可．

解答： 解：（1）∵f（3+x）=f（3-x），
∴函数f（x）的对称轴是：x=3，
∵二次函数y=f（x）的图象与x轴两个交点之间的距离为4，
∴交点坐标是（1，0），（5，0），
设f（x）=a（x-1）（x-5），
将（3，-3）代入函数的表达式得：
-3=a（3-1）（3-5），解得：a=

3

4

，
∴f（x）=

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

；
（2）由（1）得：f（x）=

3

4

（x-3）²-3，
∴函数f（x）在（-∞，3）递增，在（3，+∞）递减．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性，是一道基础题．