Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，他们之间的距离为6，其图象关于x=2对称，且f（x）有最小值为-9
求（1）a，b，c的值；（2）如果f（x）≤7 求对应x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的对称轴以及两根之间的关系，求出函数图象与x轴的交点坐标，设出函数的表达式，将（2，-9）代入从而求出函数的表达式，进而求出a，b，c的值；
（2）由题意得不等式组解出即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的对称轴是x=2，且两根之差是6，
∴图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（5，0），
∴可设f（x）=a（x+1）（x-5），
将（2，-9）代入函数的表达式得：
-9=a（2+1）（2-5），解得：a=

3

2

，
∴f（x）=

3

2

x²-6x-

15

2

，
∴a=

3

2

，b=-6，c=-

15

2

；
（2）由f（x）=

3

2

x²-6x-

15

2

≤7，
解得：2-

123

3

≤x≤2+

123

3

．

点评：本题考查了二次函数的性质问题，考查了求函数的解析式问题，本题属于基础题．