Question

3．已知函数$f（x）=\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求证：$f（{\frac{1}{x}}）=-f（x）$．（x≠-1，x≠0）
（2）说明f（x）的图象可以由函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过怎样的变换得到？
（3）当x∈Z时，m≤f（x）≤M恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算，可得结论；
（2）f（x）=-1+$\frac{2}{1+x}$，可得结论；
（3）当x∈Z时，f（x）的最小值为f（-2）=-3，最大值为f（0）=1，即可求M-m的最小值．

解答 （1）证明：f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x-1}{x+1}$=-f（x）；
（2）解：f（x）=-1+$\frac{2}{1+x}$，∴f（x）的图象可以由函数$y=\frac{2}{x}$的图象向左1个单位，再向下平移2个单位得到；
（3）解：当x∈Z时，f（x）的最小值为f（-2）=-3，最大值为f（0）=1，
∵m≤f（x）≤M恒成立，∴M-m的最小值为4．

点评 本题考查函数值的计算，考查图象变换，考查函数的最值，属于中档题．