Question

12．已知函数f（x）=e^2x-ae^x+2x在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （2，4]
• B． （-∞，4]
• C． （3，4）
• D． [3，4）

Answer 1

分析 根据题意，若函数f（x）在R上是增函数，则必有其导数f′（x）≥0在R上恒成立，使用换元法设e^x=t，将问题转化为二次函数根的分布问题，求出a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=e^2x-ae^x+2x，求导可得：f′（x）=2e^2x-ae^x+2，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f′（x））=2e^2x-ae^x+2≥0在R上恒成立，
设e^x=t，则t＞0，
∴2t²-at+2≥0在（0，+∞）上恒成立，
（1）若△=a²-16≤0，解得-4≤a≤4．显然符合题意．
（2）若△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4时，只需令2t²-at+2=0有两个负根即可．
则有$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0；
又由a＜-4或a＞4，则此时a＜-4；
综合可得：a＜4，即a的取值范围是（-∞，4]；
故选：B．

点评 本题考查利用导数判断函数单调性，涉及二次函数的性质，关键是用换元法分析，将原问题转化为二次函数的根的分布问题．