Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直线x+2y-1=0所得弦长为$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，则ab的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出圆（x-a）²+（y-b）²=1的圆心和半径，再求出圆心（a，b）到直线x+2y-1=0的距离，由此概率圆（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直线x+2y-1=0所得弦长为$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，由勾股定理和基本不等式能求出ab取最大值．

解答 解：∵圆（x-a）²+（y-b）²=1的圆心（a，b），半径r=1，
圆心（a，b）到直线x+2y-1=0的距离d=$\frac{|a+2b-1|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|a+2b-1|}{\sqrt{5}}$，
∵圆（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直线x+2y-1=0所得弦长为$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
由勾股定理得${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{1}{2}×\frac{4}{5}\sqrt{5}）^{2}$，
即1=$\frac{（a+2b-1）^{2}}{5}$+$\frac{4}{5}$，
∴a+2b=2或a+2b=0，
∴当a＞0，b＞0，a+2b=2，
2ab≤（$\frac{a+2b}{2}$）²=1，∴ab$≤\frac{1}{2}$．
∴当且仅当a=2b=1时，ab取最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查代数式的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．