Question

7．已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x₁、x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b-1）=0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值为25．

Answer 1

分析 首先分析可得f（0）=0，由所给的等式可得f（a）+f（2b-1）=f（0），即f[a+（2b-1）]=f（0），再由f（x）单调可得a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．

解答 解：根据题意，在f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，
令x₁=0，x_2⁼⁰，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
若f（a）+f（2b-1）=0，则有f（a）+f（2b-1）=f（0），
则有f[a+（2b-1）]=f（0），
又由f（x）为单调函数，则有a+2b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$）（a+2b）=17+$\frac{2b}{a}$+$\frac{8a}{b}$≥17+2$\sqrt{16}$=25；
故答案为：25．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及基本不等式的性质，关键是得到a、b的关系．