Question

17．若函数f（x）=x²（x-a）在（2，3）上不单调，则实数a的取值范围是（3，$\frac{9}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，根据f（x）在（2，3）不单调，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
（1）a＞0时，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2a}{3}$）	$\frac{2a}{3}$	（$\frac{2a}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

（2）a＜0时，

x	（-∞，$\frac{2a}{3}$）	$\frac{2a}{3}$	（$\frac{2a}{3}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

若函数f（x）=x²（x-a）在（2，3）上不单调，
则2＜$\frac{2a}{3}$＜3，解得：3＜a＜$\frac{9}{2}$，
故答案为：（3，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．