Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足2kS_n-（2k+1）S_n-1=2k（常数k＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（k），作数列{b_n}，使b₁=3，b_n=f（

1

bn-1

）（n=2，3，4，…）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=b_n-2，若存在m∈N^*，使

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）＜

1

2007

，试求m的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，作差后即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）由（1）中求出的等比数列的公比f（k）结合b_n=f（

1

bn-1

）得到关于数列{b_n}的递推式，然后构造等比数列{b_n-2}，求其通项公式后可得数列{b_n}的通项公式；
（3）把数列{b_n}的通项公式代入c_n=b_n-2，求出cncn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

，然后再求c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1，取极限后求解指数不等式得答案．

解答： （1）证明：由2kS_n-（2k+1）S_n-1=2k  ①，得
2kS_n+1-（2k+1）S_n=2k  ②，
②-①得：2ka_n+1-（2k+1）a_n=0（n≥2），
即

an+1

an

=

2k+1

2k

（n≥2），
又a₁=1，
∴2k（1+a₂）-（2k+1）=2k，a2=

2k+1

2k

．
∴

a2

a1

=

2k+1

2k

．
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）由（1）知f（k）=

2k+1

2k

，
∴bn=

2 bn-1 +1

2 bn-1

=

bn-1+2

2

=

1

2

bn-1+1，
则bn-2=

1

2

(bn-1-2)，
∵b₁=3，
∴数列{b_n-2}构成以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴bn-2=(

1

2

)n-1．
则bn=(

1

2

)n-1+2；
（3）由c_n=b_n-2，得cn=(

1

2

)n-1，
∴cncn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

．
则c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1=

1

22m-1

+

1

22m+1

+…+

1

22n-1

=

1 22m-1 (1- 1 4n-m+1 )

1- 1 4

=

4

3

•

1

22m-1

(1-

1

4n-m+1

)
∴

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）=

lim

n→∞

4

3

•

1

22m-1

(1-

1

4n-m+1

)
=

4

3

•

1

22m-1

．
由

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）＜

1

2007

，得

4

3

•

1

22m-1

＜

1

2007

，即2^2m-1＞2676＞1024=2¹⁰．
∴2m-1＞10，m＞

11

2

，
又m∈N^*，
∴m的最小值为6．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，训练了数列极限的求法，考查了指数不等式的解法，是压轴题．