Question

13．已知直线l为曲线y=x²+x-2在点（1，0）处的切线，m为该曲线的另一条切线，且l⊥m
（1）求直线m的方程
 （2）求直线l、m和x轴所围成的三角形面积．

Answer 1

分析 （1）欲求直线m的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合l⊥m即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先通过解方程组得直线l和m的交点的坐标和l、m与x轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可．

解答 解：（1）y′=2x+1，y′|_x=1=3，
故切线方程是：y=3（x-1），
即直线l的方程为y=3x-3．
设直线m过曲线y=x²+x-2上的点B（b，b²+b-2），
则m的方程为y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）
因为ml，则有k_m=2b+1=-$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$．
所以直线m的方程为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{22}{9}$．
（2）解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{6}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线m和l的交点的坐标为（$\frac{1}{6}$，-$\frac{5}{2}$）．
l、m与x轴交点的坐标分别为（1，0）、（-$\frac{22}{3}$，0）．
所以所求三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×|-$\frac{5}{2}$|=$\frac{125}{12}$．

点评 本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．