Question

已知函数fn(x)=anx3+bnx2+cnx，满足

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q为常数)，n∈N^*，给出下列说法：①函数f_n（x）为奇函数；
②若函数f₁（x）在R上单调递增，则a₁＞0；
③若x₀是函数f_n（x）的极值点，则x₀也是函数f_n+1（x）的极值点；
④若bn2＞3ancn，则函数f_n（x）在R上有极值．
以上说法正确的个数是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：①利用奇函数的定义，可以判断；
②根据函数f₁（x）在R上单调递增，可得f₁′（x）=3a1x2+2b1x+c1＞0在R上恒成立，可得a₁＞0，△＜0；
③利用极值的定义，结合

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q为常数)，可得结论；
④f_n′（x）=3anx2+2bnx+cnx=0，若bn2＞3ancn，则方程有两个不等的实数根，且在其左右附近导数的符号改变．

解答： 解：①f_n（x）+f_n（-x）=anx3+bnx2+cnx=-anx3+bnx2-cnx=2bnx2≠0，
∴函数f_n（x）不是奇函数；
②f₁（x）=a1x3+b1x2+c1x，
则∵函数f₁（x）在R上单调递增，
∴f₁′（x）=3a1x2+2b1x+c1＞0在R上恒成立，
∴a₁＞0，△＜0；
③若x₀是函数f_n（x）的极值点，
则f_n′（x₀）=3anx02+2bnx0+cnx0=0，
∵

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q为常数)，
∴f_n+1′（x₀）=q•（3anx02+2bnx0+cnx0）=0，
∴x₀也是函数f_n+1（x）的极值点；
④f_n′（x）=3anx2+2bnx+cnx=0，若bn2＞3ancn，
则方程有两个不等的实数根，且在其左右附近导数的符号改变，
∴函数f_n（x）在R上有极值．
综上可知，②③④正确．
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列知识，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．