Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．E为SD的中点，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SB=SC=

3

．
（Ⅰ） 求证：SA⊥BC；
（Ⅱ） 在BC上求一点F，使EC∥平面SAF；
（Ⅲ） 求三棱锥D-EAC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面SAG，再利用线面垂直的性质即可证明BC⊥SA．
（Ⅱ）根据已知条件可猜测点F的位置，证明即可．利用直线与平面平行的判定定理可以证明当点F为BC中点时，EC∥平面SAF．
（Ⅲ）根据平面与平面垂直的性质定理得到SG⊥平面ABCD．从而得到点E到平面ABCD的距离．再利用等积法即可求出三棱锥D-EAC的体积．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=

2

．
在△ABC中，由余弦定理可得，AC=2．
∴AC=AB．取BC的中点G，连接SG，AG．
则AG⊥BC．
∵SB=SC
∴SG⊥BC
又∵AG∩SG=G．
∴BC⊥平面SAG．
∵SA?平面SAG，
∴BC⊥SA．
（Ⅱ）当F为BC中点时，EC∥平面SAF．
取SA的中点M，连接EM，MF．
∵E为SD中点，
∴EM∥DA且EM=

1

2

DA．
又∵CF∥DA且CF=

1

2

DA，
∴EM∥CF且EM=CF．
∴四边形EMFC为平行四边形．
∴EC∥MF．
∵MG?平面SAF，EC?平面SAF，
∴EC∥平面SAF．
（Ⅲ）∵平面SBC⊥平面ABCD，
SG?平面SBC，
平面SBC∩平面ABCD=BC，
SG⊥BC，
∴SG⊥平面ABCD．
在△SBC中，
BC=2

2

，SB=SC=

3

．
∴SG=1．
∵E为SD的中点，
∴点E到平面ABCD的距离为

1

2

．
∴VD-EAC=VE-DAC=

1

3

•

1

2

•2•2•

1

2

=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行，垂直的判定定理，平面与平面垂直的性质定理．以及用等积法求三棱锥的体积等知识．属于中档题．