Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求θ．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值．
（2）利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则θ=0°或180°，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos θ=±$\sqrt{2}$．
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，则（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，即|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-$\sqrt{2}$cos θ=0，∴cos θ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．

点评 本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．