Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-1，（x＞0）}\\{-{x}^{3}+1，（x≤0）}\end{array}\right.$，
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意的x∈R恒成立；命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据已知中分段函数的解析式，可得函数f（x）的最小值；
（II）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（I）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-1，（x＞0）}\\{-{x}^{3}+1，（x≤0）}\end{array}\right.$，
若x＞0，由对勾函数的图象和性质，
可得：当x=1时，函数取最小值1，
若x≤0，此时函数为减函数，
当x=0时，函数取最小值1，
综上可得：函数f（x）的最小值为1…（4分）
（Ⅱ）由（I）得m²+2m-2≤1对任意x∈R恒成立
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
∴命题p：-3≤m≤1…（6分）
命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数，
∴m²-1＞1，
∴命题q：m＜-$\sqrt{2}$，或m＞$\sqrt{2}$…（8分）
若“p或q”为真，“p且q”为假，
则p，q一真一假，
分两种情况：
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}-3≤m≤1\\-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{2}$≤m≤1…（10分）
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}m＜-3，或m＞1\\ m＜-\sqrt{2}，或m＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得m＜-3，或m＞$\sqrt{2}$
所以实数m的取值范围为m＜-3，或-$\sqrt{2}$≤m≤1，或m＞$\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立等知识点，难度中档．