Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），则a_n=（2n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
可得数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×1$=$\frac{2n-1}{2}$，
解得a_n=（2n-1）•2^n-1．n=1时也成立．
∴a_n=（2n-1）•2^n-1．
故答案为：（2n-1）•2^n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．