Question

函数f（x）=

ex+x，x≥0 e-x-x，x＜0

，若f（-a）+f（a）≤2f（1），则实数a取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1]∪[1，+∞）
• B、[-1，0]
• C、[0，1]
• D、[-1，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：讨论a=0，a＞0，a＜0，化简不等式，构造函数y=g（x）=2e^x+x，运用导数判断单调性，再由单调性解不等式，最后求并集．

解答： 解：函数f（x）=

ex+x，x≥0 e-x-x，x＜0

，
当a=0时，f（-a）+f（a）≤2f（1）即为2f（0）≤2f（1），即1≤e+1成立；
当a＞0时，-a＜0，f（-a）+f（a）≤2f（1）即为2e^a+2a≤2（e+1），
令y=g（x）=2e^x+x，y′=2ex+1＞0，则y=2e^x+x在R上递增．
由g（a）≤g（1）可得a≤1①
当a＜0时，-a＞0，f（-a）+f（a）≤2f（1）即为2e^-a-2a≤2（e+1），
由y=g（x）=2e^x+x在R上递增，又g（-a）≤g（1），即有-a≤1，即a≥-1②
由①②得实数a取值范围是[-1，1]．
故选D．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分类讨论的思想方法及构造函数应用单调性解不等式的方法，考查运算能力，属于中档题．