题目内容
18．已知双曲线$C：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（ ）| A． | 2 | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ |
分析 设切点（m，n），则n=$\frac{a}{b}$m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求出双曲线Γ的离心率．
解答 解：设切点（m，n），则n=$\frac{a}{b}$m，n=1+lnm+ln2，
∵y=1+lnx+ln2，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴$\frac{1}{m}=\frac{a}{b}$，
∴n=1，m=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．
点评 本题考查双曲线Γ的离心率，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |