Question

13．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$对于任意的x₁，x₂∈R，都满足条件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，则a的取值范围是$1＜a≤\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 若对于任意的x₁，x₂∈R，都满足条件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，则函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上为增函数，里面可得答案．

解答 解：若对于任意的x₁，x₂∈R，都满足条件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，
则函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上为增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\ a＞1\\ 3a-4≤1\end{array}\right.$，
解得：$1＜a≤\frac{5}{3}$，
故答案为：$1＜a≤\frac{5}{3}$

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，分段函数的单调性，难度中档．