Question

1．已知f（x）=|x+1|+|x-3|，g（x）=$\sqrt{7x+14}$+$\sqrt{6-x}$．
（1）求不等式f（x）≥8的解集；
（2）若存在实数x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可解不等式；
（2）求出g（x）=$\sqrt{7x+14}$+$\sqrt{6-x}$的最大值，利用g（x）_max＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，求实数t的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≥8，即不等式|x+1|+|x-3|≥8，
x＜-1时，-x-1-x+3≥8，解得x≤-3，∴x≤-3；
-1≤x≤3时，x+1-x+3≥8，不成立；
x＞3时，x+1+x-3≥8，解得x≥5，∴x≥5；
∴不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤-3或x≥5}；
（2）设$\sqrt{7x+14}$=m，$\sqrt{6-x}$=n，则m²+7n²=56（m≥0，n≥0），
设m=$\sqrt{56}$cosα，n=2$\sqrt{2}$sinα（0≤α≤90°），
∴m+n=2$\sqrt{14}$cosα+2$\sqrt{2}$sinα=8sin（α+θ），
∴（m+n）_max=8，
∵存在实数x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，
∴8＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1），
∴0＜3t+1＜$（\sqrt{2}）^{8}$，
∴-$\frac{1}{3}$＜t＜5．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求出函数的最大值是关键．