Question

13．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）连BD，设AC交BD于O，则SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD?平面SBD，根据线面垂直的性质可知AC⊥SD．
（2）设正方形边长a，求出SD、OD，得到∠SDO，连OP，根据（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，则AC⊥OP，且AC⊥OD，根据二面角平面角的定义可知∠POD是二面角P-AC-D的平面角，然后在三角形POD求出此角即可．

解答 解：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（2）设正方形边长a，则SD=$\sqrt{2}$a．
又OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，所以∠SDO=60°，
连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为30°．

点评 本题主要考查了线面垂直的性质，以及二面角的度量，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．