Question

16．若函数f（x）满足$f（x）+1=\frac{1}{f（x+1）}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-2m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $0＜m≤\frac{1}{3}$
• B． $0＜m＜\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}＜m≤1$
• D． $\frac{1}{3}＜m＜1$

Answer 1

分析 由条件求得当 x∈（-1，0）时，f（x）的解析式，根据题意可得y=f（x）与y=mx+2m的图象有两个交点，数形结合求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，
当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）时，f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$=$\frac{1}{x+1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
因为g（x）=f（x）-mx-2m有两个零点，
所以y=f（x）与y=mx+2m的图象有两个交点，
根据图象可得，当0＜m≤$\frac{1}{3}$时，两函数有两个交点，
故选：A．

点评 本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力，属于中档题．