Question

10．如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．
（I）求道路BE的长度；
（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．

Answer 1

分析 （I）连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB=∠CBD=30°，∠CDE=120°，可得∠BDE=90°，利用勾股定理即可得解BE的值．
（Ⅱ）设∠ABE=α，由正弦定理，可得AB=4sin（120°-α），AE=4sinα，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE=4$\sqrt{3}$sin（α+30°），结合范围30°＜α+30°＜150°，利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值，从而得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（I）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD²=BD²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=1+1-2×1×1×（-$\frac{1}{2}$）=3，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
又∵∠CDE=120°，
∴∠BDE=90°，
∴在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$．…5分
（Ⅱ）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°-α，
在△ABE中，由正弦定理，可得：$\frac{AB}{sin∠AEB}=\frac{AE}{sin∠ABE}=\frac{BE}{sin∠BAE}$，
∵$\frac{BE}{sin∠BAE}=\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∴AB=4sin（120°-α），AE=4sinα，
∴AB+AE=4sin（120°-α）+4sinα
=4（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα$）+4sinα
=2$\sqrt{3}$cosα+6sinα
=4$\sqrt{3}$sin（α+30°），
∵0°＜α＜120°，
∴30°＜α+30°＜150°，
∴当α+30°=90°，即α=60°时，AB+AE取得最大值4$\sqrt{3}$km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4$\sqrt{3}$km．…13分

点评 本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．