已知函数f(x)=x+$\frac{m}{x}$=a|x-b|+c．问:在上是增函数,(2)把函数g1(x)=|x|和g2(x)=|x-1|写成分段函数的形式.并画出它们的图象.总结出g2(x)的图象是如何由g1(x)的图象得到的．请利用上面你的结论说明:g(x)的图象关于x=b对称,(3)当m=1.b=2.c=0时.若f对于任意的x＞0恒成立.求a的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x-b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：
（1）证明：f（x）在（$\sqrt{m}$，+∞）上是增函数；
（2）把函数g₁（x）=|x|和g₂（x）=|x-1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g₂（x）的图象是如何由g₁（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；
（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．

分析（1）利用函数单调性的定义可直接证明f（x）在$（\sqrt{m}，+∞）$是增函数．；
（2）由题意知g₂（x）的图象是由g₁（x）的图象向右平移1个单位得到的；根据函数的性质与平移可证明g（x）的图象关于x=b对称；
（3）利用转化思想：由题意可知$x+\frac{1}{x}＞a|x-2|$对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为$x+\frac{1}{x}＞a（x-2）$，
即（a-1）x²-2ax-1＜0对于任意x≥2恒成立．

解答证明：（1）在$（\sqrt{m}，+∞）$内任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}+\frac{m}{x_2}-（{x_1}+\frac{m}{x_1}）=\frac{{{x_1}{x_2}-m}}{{{x_1}{x_2}}}（{x_2}-{x_1}）$，
因为${x_1}＞\sqrt{m}$，${x_2}＞\sqrt{m}$，所以x₁x₂＞m＞0，又有x₂-x₁＞0，所以△y＞0，
所以f（x）在$（\sqrt{m}，+∞）$是增函数．
解：（2）${g_1}（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x，x＜0\end{array}\right.$，${g_2}（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1，x≥1\\ 1-x，x＜1.\end{array}\right.$；
g₂（x）的图象是由g₁（x）的图象向右平移1个单位得到的，
先考虑函数h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），
在h（x）的定义域内任取一个实数x，则-x也在其定义域内，
因为h（-x）=a|-x|+c=a|x|+c=h（x），所以函数h（x）是偶函数，
即其图象的对称轴为x=0，
由上述结论，g（x）的图象是由h（x）的图象向右平移b个单位得到，
所以g（x）的图象关于x=b对称．
（3）由题意可知$x+\frac{1}{x}＞a|x-2|$对于任意的x＞0恒成立．
当x≥2时，不等式化为$x+\frac{1}{x}＞a（x-2）$，
即（a-1）x²-2ax-1＜0对于任意x≥2恒成立，
当a-1=0时，即a=1，不等式化为2x+1＞0，满足题意；
当a-1≠0时，由题意$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-1＜0\end{array}\right.$进而对称轴$x=\frac{a}{a-1}＜0$，
所以（a-1）2²-2a•2-1＜0，解得0＜a＜1；
结合以上两种情况0＜a≤1．
当0＜x＜2时，不等式$x+\frac{1}{x}＞a（2-x）$，
即（a+1）x²-2ax+1＞0对于任意0＜x＜2恒成立，
由题意$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a+1＞0\end{array}\right.$进而对称轴$x=\frac{a}{a+1}＜1$，
所以△=4a²-4（a+1）＜0，即a²-a-1＜0，解得$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}＜a＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
所以$0＜a＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．
综上所述，a的取值范围为（0，1]．