题目内容
如图，在底面积边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）若m=1，求异面直线AP与BD1所成的余弦值；
（2）是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的正弦值是
| 1 |
| 3 |
考点：异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角
专题：空间角
分析：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出向量
，
的坐标，利用向量的夹角公式求出夹角，从而求出异面直线AE与BD1所成角的余弦值．
（2）假设存在，得到直线AP与平面AB1D1的法向量夹角的余弦值的绝对值是
，找出法向量与向量AP，计算数量积解m．
| AP |
| BD1 |
（2）假设存在，得到直线AP与平面AB1D1的法向量夹角的余弦值的绝对值是
2
| ||
| 3 |
解答：
解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，2）
∴
=（-1，1，1），
=（-1，-1，2）
∴
•
=2，又AP=
，BD1=
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
∴异面直线AE与BD1所成角的余弦值等于
；
（2）假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的正弦值是
，则直线AP与平面AB1D1的法向量夹角的余弦值的绝对值是
，
则A（1，0，0），P（0，1，m），B1（1，1，2），D1（0，0，2），
∴
=（-1，1，m），
=（0，1，2），
=（-1，-1，0），
设平面AB1D1的法向量为
=（x，y，z），则
，所以
，
令z=1，则一个法向量
=（2，-2，1），
|cos＜
，
＞|=|
|=|
|=
，解得m=0或m=
，满足m∈[0，2]，
所以存在实数m=0或者m=
，使直线AP与平面AB1D1所成的正弦值是
．
则A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，2）
∴
| AP |
| BD1 |
∴
| AP |
| BD1 |
| 3 |
| 6 |
∴cos＜
| AP |
| BD1 |
| ||||
|
|
| 2 | ||||
|
| ||
| 3 |
∴异面直线AE与BD1所成角的余弦值等于
| ||
| 3 |
（2）假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的正弦值是
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
则A（1，0，0），P（0，1，m），B1（1，1，2），D1（0，0，2），
∴
| AP |
| AB1 |
| B1D1 |
设平面AB1D1的法向量为
| n |
|
|
令z=1，则一个法向量
| n |
|cos＜
| AP |
| n |
| ||||
|
|
| -4+m | ||
3
|
2
| ||
| 3 |
| 8 |
| 7 |
所以存在实数m=0或者m=
| 8 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了四棱柱中异面直线所成的角和线面角，本题借助于空间向量的数量积解答，注意适当建立坐标系，正确找出所需向量的坐标．
练习册系列答案
相关题目
已知α，β∈[-
，
]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列结论正确的是（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| A、α3＞β3 |
| B、α+β＞0 |
| C、|α|＜|β| |
| D、|α|＞|β| |
对于非空数集A，若实数M满足对任意的a∈A恒有a≤M，则M为A的上界；若A的所有上界中存在最小值，则称此最小值为A的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是（ ）
A、y=
| ||||
B、y=(-
| ||||
C、y=
| ||||
| D、y=lnx |
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1=60°，AD1=4，点P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成的角（结果用反三角函数表示）．若函数y1=2sinx（x∈[0，2π））在P处的切线平行于函数y2=2
（
+1）在Q处的切线，则直线PQ的斜率为（ ）
| x |
| x |
| 3 |
A、
| ||||
| B、2 | ||||
C、
| ||||
D、
|