Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=

an

bn+3

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得S_n=

1

4

(an+1)2，从而得得a₁=1，a_n-a_n-1=2，由此能证明数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由已知条件得b₁=4，b_n+3=2（b_n-1+3），由此求出b_n=2ⁿ⁺¹-3．
（3）c_n=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项，
∴S_n=

1

4

(an+1)2，
∴a₁=S₁=

1

4

（a₁+1）²，
解得a₁=1，
n≥2时，a_n=

1

4

（a_n+1）²-

1

4

（a_n-1+1）²，
整理，得（a_n+a_n+1）[

1

4

（a_n-a_n-1）-

1

2

]=0，
∵a_n＞0，∴

1

4

（a_n-a_n-1）-

1

2

=0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解：∵b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3（n≥2），
∴b₁=1，b_n+3=2（b_n-1+3），
∴{b_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴b_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴b_n=2ⁿ⁺¹-3．
（3）解：∵数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴c_n=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

，
∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

3

24

+…+

2n-1

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．