Question

14．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求椭圆E的方程；
（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件求得a，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后借助于根与系数的关系整体运算得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，结合a²=b²+c²，解得$a=\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1 （k≠2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得
（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
从而直线AP与AQ的斜率之和：
${k}_{AP}+{k}_{AQ}=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{1}+2-k}{{x}_{1}}$$+\frac{k{x}_{2}+2-k}{{x}_{2}}$
=$2k+（2-k）（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）=2k+（2-k）\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$2k+（2-k）\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}=2k-2（k-1）=2$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．