Question

3．已知正项等差数列{a_n}的前n（n∈N^*）项和为S_n，a₃=3，且λS_n=a_na_n+1，在正项等比数列{b_n}中，b₁=2λ，b₃=a₁₅+1．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n（n∈N^*）项和为T_n，且c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+1，n为正奇数}\\{{b}_{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，求不等式T_2n＜n²+n+480的解集．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a₁，a₂得出a_n，计算b₁，b₃得出公比得出b_n；
（II）求出c_n，根据分组求和法计算T_2n，不等式T_2n＜n²+n+480?4ⁿ＜181，⇒n≤3，即可．

解答 解：（1）λS_n=a_na_n+1，a₃=3，∴λa₁=a₁a₂，且λ（a₁+a₂）=a₂a₃，
∴a₂=λ，a₁+a₂=a₃=3，①
∵数列{a_n}是等差数列，∴a₁+a₃=2a₂，即2a₂-a₁=3，②
由①②得a₁=1，a₂=2，∴a_n=n，λ=2，
∴b₁=4，b₃=16，∴{b_n}的公比q=2，∴bn=2n+1；
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+1，n为正奇数}\\{{b}_{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，
∴T_2n=（a₁+a₃+…a_2n-1+n）+（b₂+b₄+…+b_2n）=n²+n+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=${n}^{2}+n+\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$．
不等式T_2n＜n²+n+480?4ⁿ＜181，⇒n≤3，
又∈N⁺，∴不等式T_2n＜n²+n+480的解集为{1，2，3}

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，分组法数列求和，属于中档题