Question

15．已知z是复数，且z+i，$\frac{2z}{1+i}$均为实数（i为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若|z+ai|=$\sqrt{5}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）设z=x+yi，x、y∈R，可得z+i=x+（y+1）i，x、y∈R；$\frac{2z}{1+i}=\frac{{2（{x+yi}）}}{1+i}=x+y+（{y-x}）i$，根据$z+i，\frac{2z}{1+i}$均为实数，可得$\left\{{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{y-x=0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（II）|z+ai|=$\sqrt{5}$，即|1+（a-1）i|=$\sqrt{5}$，利用模的计算公式即可得出．

解答 解：（I）设z=x+yi，x、y∈R…（1分）
则z+i=x+（y+1）i，x、y∈R；
$\frac{2z}{1+i}=\frac{{2（{x+yi}）}}{1+i}=x+y+（{y-x}）i$…（3分）
∵$z+i，\frac{2z}{1+i}$均为实数，∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{y-x=0}\end{array}}\right.$，
∴x=y=-1…（4分）
∴z=-1-i，…（5分）
（II）∵|z+ai|=$\sqrt{5}$，即|1+（a-1）i|=$\sqrt{5}$，（6分）
∴（-1）²+（a-1）²=5…（8分）
∴a=3或a=-1…（10分）

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了方程思想，属于中档题．