Question

11．已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），f（4）=0．
（Ⅰ）求m的值，并指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=a只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；由绝对值的意义，讨论x的范围，运用二次函数的性质，可得单调区间；
（Ⅱ）作出f（x）的图象，考虑直线y=a与曲线有一个交点情况，即可得到所求a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x|m-x|，且f（4）=0．
得4|m-4|=0，解得m=4；                   
故f（x）=x|4-x|，
当x≥4时，f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，
对称轴x=2在区间[4，+∞）的左边，
f（x）在[4，+∞）递增；
当x＜4时，f（x）=x（4-x）=-（x-2）²+4，
可得f（x）在（-∞，2）递增；在（2，4）递减．
综上可得f（x）的递增区间为（-∞，2），（4，+∞）；
递减区间（2，4）；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图所示：

由f（x）的图象可知，
当a＜0或a＞4时，
f（x）的图象与直线y=a只有一个交点，
方程f（x）=a只有一个实根，
即a的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用：求单调区间，考查函数方程的转化思想，以及分类讨论的思想方法，注意数形结合的运用，属于中档题．